第六章 符號運算
1.53 符號對象
1.符號數(shù)值、變量和表達式的創(chuàng)建方法
2.認識函數(shù)
sym、syms
3.說明
符號數(shù)學工具箱
符號數(shù)學工具箱引入了一種特殊的數(shù)據(jù)類型 – 符號對象
該數(shù)據(jù)類型包括符號數(shù)字，符號變量，符號表達式和符號函數(shù)，還包含符號矩陣及上述變量組成的符號數(shù)組。
符號數(shù)學工具箱提供求解、繪圖和操作符號數(shù)學方程的功能
4.實例演示
%1_53%freexyn1/6 %雙精度浮點型1/6，在Matlab中使用小數(shù)表達x=sym(1/6) %創(chuàng)建符號變量，分數(shù)形式表達class(x) %測試x類型為符號對象sin(pi) %對雙精度浮點pi值求sin值，有舍入誤差sin(sym(pi)) %對符號對象數(shù)值pi求sin值，完整表達%% 創(chuàng)建符號變量sym(‘x’) %方法1syms x %方法2 聲明后可直接使用，無輸出結(jié)果，但工作區(qū)會存儲syms x y zsym(‘x’,[1 5]) %方法1的形式也可賦值多個符號變量，并自動編號%% 創(chuàng)建符號表達式f=2*x+1g=x*y+z
1.54 符號函數(shù)和符號矩陣
1.符號函數(shù)和符號矩陣的創(chuàng)建和應用
2.說明
符號函數(shù)和符號矩陣的用法與常規(guī)的矩陣和函數(shù)相同，差異在于處理的數(shù)據(jù)類型不同，用符號對象運算時，需要首先聲明符號對象。
3.實例演示
%1_54syms x %聲明符號對象xf=2*x+1 %符號表達式f(x)=2*x+1 %符號函數(shù)f(1) %結(jié)果是符號對象3，與雙精度3不同syms f(x,y) %直接創(chuàng)建（聲明）沒有函數(shù)表達式的函數(shù)f(x,y) %調(diào)用f(1,2) %運算結(jié)果%% 符號矩陣syms a b c d %聲明符號變量A=[a b;c d] %符號矩陣，結(jié)果每行用中括號單獨表達B=[a 1;c 3] %混合類型符號矩陣sum(A) %符號矩陣運算，與常規(guī)矩陣算法相同sum(B)sym(‘x’,[2 2]) %創(chuàng)建2行2列矩陣，自動添加下標sym(‘x%d%d’,[2 2]) %分別引用2個下標sym(‘x%d2018%d’,[2 2]) %2個下標中間添加數(shù)字%% 普通矩陣轉(zhuǎn)化為符號矩陣C=hilb(3) %創(chuàng)建3階希爾伯特矩陣sym(C) %轉(zhuǎn)化為符號矩陣
1.55 基本運算
1.符號對象的算術(shù)運算、關(guān)系運算和邏輯運算
2.認識函數(shù)
isAlways %判斷符號表達式是否為真
3.說明
符號對象的基本代數(shù)運算與浮點型數(shù)據(jù)的運算大體相同
4.實例演示
%1_551+1sym(1)+1syms a b x %聲明符號變量a+1a+bf=a+b+1f+xg(x)=a*x+b %函數(shù)運算g(10)m=[a b;b a] %符號矩陣運算m+1m.*2 %每個元素都乘2m*m %矩陣乘法%% 關(guān)系運算1<2 %浮點型關(guān)系運算返回邏輯值sym(1)<2 %先轉(zhuǎn)換為符號型再運算，返回符號型表達式isAlways(sym(1)<2) %用符號表達式的判斷函數(shù)，返回邏輯值a<b %未知參數(shù)關(guān)系運算f=a=0)isAlways(abs(a)*abs(b)>=abs(a*b))isAlways(abs(a)>=0 | 1>2) %第一項為真，取或運算后，結(jié)果為真isAlways(abs(a)>=0 & 1>2) %結(jié)果為假a | ba & b
1.56 使用假設
1.符號變量使用假設
2.認識函數(shù)
設置assume
添加assumeAlso
顯示assumptions
3.說明
在符號數(shù)學工具箱中，符號變量默認是復數(shù)變量
若要運算中不使用全體復數(shù)域，可以為變量添加假設指定范圍
可以通過假設設置變量屬于集合：整數(shù)、正數(shù)和實數(shù)
4.實例演示
%1_56%作者：freexynsyms xassumptions(x) %x不存在假設，屬于復數(shù)域assume(x>=0) %設置假設assumptions(x) %查看假設% assume(x<=5)% assumptions(x) %會覆蓋前面假設內(nèi)容assumeAlso(x<=5) %追加假設assumptions(x)%% 設置x屬于集合assume(x,'integer') %假設x屬于整數(shù)assumptions(x)assume(x,'positive') %假設x為正數(shù)assume(x,'real') %假設x屬于實數(shù)assumptions(x)%% 符號變量聲明時同時設置假設sym('x')sym('x','real') %創(chuàng)建（聲明）符號變量并假設屬于實數(shù)assumptions(x)syms y positive %另一方法，創(chuàng)建（聲明）符號變量并假設屬于正數(shù)assumptions(y)assumptions %不給定參數(shù)時，會顯示所有假設%% 設置假設的用法solve(y+1==0,y) %solve函數(shù)用來解方程，solve(x+1==0,x)
1.57 清除假設
1.清除假設和重置符號引擎
2.認識函數(shù)
reset
3.說明
符號變量和它們的假設是分開存儲的
符號引擎工作空間通常是空的，Matlab工作空間記錄符號變量并在需要時把他們傳遞到符號引擎工作空間進行計算
符號引擎空間存儲了所有的關(guān)于符號變量的假設，這些假設會影響方程的求解、化簡和變換
清除變量和清除假設是兩個過程，運算結(jié)束后注意清除假設
4.實例演示
%1_57syms x y z positive %假設不存在工作區(qū)中，而在符號引擎工作空間中assumptions %查看所有假設whos %查看所有變量clear x %清除變量x，并不會清除掉假設assumptionswhos% assume(x,’clear’) %清除假設：變量x是訪問和調(diào)用x假設的橋梁，變量若被清除了，則無法訪問或清除假設syms x %重新聲明假設xassume(x,’clear’)assumptionswhosassume([x y],’clear’) %可同時清除多個假設，以數(shù)組形式assumptionsreset(symengine) %重制符號引擎工作空間：清理所有符號假設assumptions
1.58 可變精度算術(shù)
1.可變精度算術(shù)的應用
2.認識函數(shù)
vpa
3.說明
默認的，Matlab雙精度浮點數(shù)使用16位數(shù)字精度
而符號數(shù)學工具箱的vpa函數(shù)，提供了無限大的可變精度
它默認使用32位數(shù)字精度，32位指的是有效數(shù)字的位數(shù)
4.實例演示
%1_58pi %默認雙精度浮點型pi值，16位精度，默認short格式小數(shù)點后4位vpa(pi) %pi轉(zhuǎn)換為可變精度數(shù)值，32位精度vpa(pi)+1 %先轉(zhuǎn)換為可變精度數(shù)值再運算vpa(pi,100) %通過輸入第2個參數(shù)指定精度vpa(sqrt(2),100)%% 讓整個運行環(huán)境使用可變精度digits %獲取當前運行環(huán)境的精度i=digits(100) %設置運行環(huán)境精度100，i返回設置前的精度值digitsvpa(pi) %顯示pi的可變參數(shù)值，已變?yōu)?00位vpa(pi)+1digits(32)digitsvpa(pi)
1.59 運算精度的選擇
1.分別在以下三種算術(shù)條件下求sin(pi)的值
符號運算
可變精度運算
雙精度浮點型運算
2.說明
2.1 符號算術(shù)
默認的，符號數(shù)學工具箱使用確切的數(shù)字，進行精確的符號計算
2.2 可變精度算術(shù)
是符號數(shù)學工具箱的功能，是符號計算的近似數(shù)值計算
通過控制數(shù)值顯示的有效位數(shù)實現(xiàn)可變精度
默認32位，運算速度稍快，內(nèi)存消耗量依賴于設定的精度
2.3 雙精度浮點數(shù)算術(shù)
雙精度浮點運算就是常規(guī)的Matlab數(shù)值計算
有舍入誤差，精確到16位精度，運算速度最快，內(nèi)存消耗最少
3.實例演示
%1_59a=sym(pi) %符號型sin(a)b=vpa(pi) %可變精度型sin(b)c=pi %雙精度sin(c)
1.60 數(shù)值型的轉(zhuǎn)換
1. 符號型和數(shù)值型之間的轉(zhuǎn)換
2.說明
符號數(shù)學工具箱允許實現(xiàn)符號對象和常規(guī)Matlab數(shù)據(jù)類型的轉(zhuǎn)換（如數(shù)值、字符等）
也可以借助符號變量的精度控制方法實現(xiàn)高精度的數(shù)值計算
數(shù)值型轉(zhuǎn)換成符號型用sym，返回數(shù)值表達式的有理近似值
轉(zhuǎn)換的原理是，通過匹配p/q, pπ/q, (p/q)^1/2,2^q和10^q（其中p和q是中等大小的整數(shù)）這樣的形式來修正舍入誤差（符號型為精確值）
3.實例演示
%1_600.3 %雙精度sym(0.3) %轉(zhuǎn)化為符號型sym(0.333333333333333333333333333) %轉(zhuǎn)化為符號型a=1/6 %取小數(shù)后4位sym(a)a=pi/6sym(a)a=3^(1/3) %開立方近似值sym(a) %轉(zhuǎn)換成符號型時，無法將近似值轉(zhuǎn)換成精確值的a=3^(1/2) %開平方近似值sym(a) %可以轉(zhuǎn)換成符號型，常規(guī)近似值能夠精確轉(zhuǎn)換回去sym(0.333333333333333333333333333) %轉(zhuǎn)回符號型1/3sym(‘0.333333333333333333333333333’) %變?yōu)榉栃蛃ym(‘x’) %上式形式類似于創(chuàng)建符號變量
1.61 查找符號變量
1.查找符號變量
2.認識函數(shù)
symvar
3.說明
在符號表達式、符號函數(shù)和符號矩陣中查找符號變量
symvar函數(shù)自動把查找到的符號變量按字母順須排列并輸出
如果不是查找所有符號變量，那么靠近字母x的變量優(yōu)先查找
特別的，對于符號函數(shù)，作為函數(shù)輸入?yún)?shù)的符號變量優(yōu)先查找
大多應用在當沒有指定運算變量時，用于確定默認符號變量
4.實例演示
%1_61%freexynsyms a b n t x yf=sin(a*x+b)+x^n+log(y) %符號表達式symvar(f) %查找函數(shù)表達式f中的符號變量symvar(f,1) %優(yōu)先查找靠近x的符號變量symvar(f,2) %查找2個符號變量f(t)=sin(a*t+b)+x^n+log(y) %符號函數(shù)symvar(f) %優(yōu)先查找自變量，然后，查找靠近x的變量symvar(f,1)symvar(f,2)m=[a b n;t x y] %符號矩陣symvar(m)symvar(m,2) %查找2個靠近x的變量
1.62 變量替代
1.符號變量的代入和替代
2.認識函數(shù)
subs
3.說明
把符號變量替代為數(shù)值
把符號變量替代為矩陣
替換符號矩陣中的元素
4.實例演示
%1_62syms x yf=x+ysubs(f,x,1) %將符號表達式f中變量x替換為1subs(f,y,2)subs(f,1) %符號表達式f中默認符號變量替換為1，默認符號變量即x，或者靠近x最近的變量subs(f,x,y) %x替換為ysubs(f,[x y],[1 2]) %將x和y分別替換成1和2subs(f,x,[1 2]) %x替換為矩陣[1 2]m=[x y x;y x y] %2行3列的符號變量m(1,3)=sym(‘a’) %下標索引替換法subs(m,x,sym(‘a’)) %x替換為asubs(m,m(1,1),sym(‘a’))subs(m,x,x^2+x+1+y) %將x替換為符號表達式subs(m,x,[2*x 2*y])
1.63 長表達式的縮寫
1.長表達式的縮寫
2.認識函數(shù)
pretty
subexpr
3.說明
長表達式可能含有多個相同的子表達式
可以把這樣的子表達式替換并縮寫
pretty使用內(nèi)部算法來選擇要縮寫的子表達式，可以嵌套縮寫
subexpr函數(shù)只做一個子表達式的縮寫，它不支持嵌套縮寫
它默認使用變量sigma來縮寫子表達式
4.實例演示
%1_63syms xs=(sqrt(5)+x)/2pretty(s)ss=(s^2+s+1)*(s^2+s-1)/((s^2-s-1)*(s^2-s+1)^2)pretty(ss) %嵌套縮寫，將表達式中重復出現(xiàn)的子表達式縮寫并拎出說明，子表達式符號無法更改[s1,t]=subexpr(ss,’t’) %嵌套縮寫，返回表達式名稱可指定，且是單行表達
1.64 符號函數(shù)繪圖
1.簡單介紹符號函數(shù)、方程和表達式的繪圖方法
2.認識函數(shù)
fplot
3.實例演示
%1_64% fplot(@sin) %函數(shù)句柄調(diào)用% fplot(sin) %直接傳遞函數(shù)名，報錯% fplot(sin(x)) %函數(shù)名傳入自變量，報錯%%Matlab是一個綜合運行環(huán)境，上述為Matlab中基礎工作模塊中的函數(shù)%% 符號函數(shù)工具箱中，也有fplot% Matlab會根據(jù)輸入數(shù)值類型區(qū)別調(diào)用工具箱，輸入數(shù)值型會調(diào)用基礎模塊，輸入符號型調(diào)用符號函數(shù)工具箱syms xfplot(sin(x)) %符號工具箱中可以直接調(diào)用函數(shù)名稱fplot(exp(x))fplot(sin(x)+x^4*log(x))fplot(sin(x)+x^4*log(x),[0 10]) %第二個參數(shù)指定繪圖范圍% f=x^2+x+1 %符號表達式% fplot(f) %傳入符號表達式繪圖f(x)=x^2+x+1 %符號函數(shù)fplot(f) %傳入符號函數(shù)繪圖
（本章結(jié)束，本書結(jié)束）
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作者/旺旺/ UP：freexyn（郵箱：[email protected]）
整理/注釋：韓松岳（郵箱：[email protected]）
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附本書相關(guān)鏈接：
Matlab基礎入門手冊（第二章 矩陣）
Matlab基礎入門手冊（第三章 運算符）
Matlab基礎入門手冊（第四章 數(shù)據(jù)類型）
Matlab基礎入門手冊（第五章 函數(shù)/腳本）
【本文】Matlab基礎入門手冊（第六章 符號函數(shù)）
