從e的極限定義開始：
我們把它看成是r和s兩個(gè)變量的實(shí)函數(shù)，用有理數(shù)r/s替換整數(shù)n。
r與s的比值越大，對e的近似就越好。
這個(gè)表達(dá)式可以用子函數(shù)f(x)替換r，用子函數(shù)g(x)替換s，從而把它重新定義為單變量復(fù)合函數(shù)。如果f(x)和g(x)是單調(diào)的和發(fā)散的，并且
那么：
現(xiàn)在，如果我們用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)賦值f(x)和g(x)，例如，我們可以設(shè)f(x)=cos(θ)，g(x)=sin(θ)。當(dāng)θ趨于π時(shí)，cos(θ)趨于-1，sin(θ)趨于0。雖然函數(shù)在θ=π處沒有定義，但我們發(fā)現(xiàn)：
為了評估這類表達(dá)式的相對收斂速度，我們可以通過將θ替換為π 1/x，然后計(jì)算當(dāng)x趨于無窮時(shí)的表達(dá)式，從而得到它們各自的冪級數(shù)。在這種情況下，當(dāng)θ向右接近π時(shí)，我們有一個(gè)一階近似：
輸入π的前32位：
3.1415926535897932384626433832795
得到e的前32位：
2.7182818284590452353602874713526
- cot(θ）函數(shù)圖
現(xiàn)在我們看看讓函數(shù)f(x)=cot(θ)，g(x)=tan(θ)會(huì)發(fā)生什么。當(dāng)θ向右趨于π時(shí)，cot(θ)趨于負(fù)無窮，tan(θ)趨于0。當(dāng)θ向左趨于π時(shí)，cot(θ)趨于正無窮，tan(θ)趨于0。將這些函數(shù)代入，并使用三角恒等式：
從左接近π，得到一個(gè)二階近似：
輸入π的前32位：
3.1415926535897932384626433832795
得到e的前64位：
2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627
下面的一階表達(dá)式有一個(gè)有趣的性質(zhì)，它除了收斂于e之外（ θ π時(shí)），在5π/4處收斂于根號2，在3π/2處收斂于1。
- 三維散點(diǎn)圖顯示了7π/4 < θ < 11π/4的虛分量。復(fù)區(qū)域的模量在θ 2π時(shí)趨近于e。它在θ = 3π/4處無定義，在θ = 7π/4在π和2π處有可移奇點(diǎn)。
另外，三角函數(shù)替換并不是唯一方法。例如，只需稍加操作，我們就可以得到這個(gè)無限乘積：
當(dāng)然，用π來計(jì)算數(shù)字e不是很實(shí)用。如果有筆和紙，那么用無窮級數(shù)會(huì)容易得多。盡管如此，這些表達(dá)式在幾個(gè)世紀(jì)以來一直令數(shù)學(xué)家著迷，兩個(gè)數(shù)字之間竟有一種意想不到的聯(lián)系。
